Negociação FX de alta freqüência intradía com sistemas adaptativos de inferência neuro-fuzzy Abdalla Kablan e Wing Lon Ng Resumo: Este artigo introduz um sistema de inferência adaptativo neuroferido (ANFIS) para negociação financeira, que aprende a prever movimentos de preços a partir de dados de treinamento consistindo em intradía Marcar dados amostrados em alta freqüência. Os dados empíricos utilizados na nossa investigação são séries temporais de preços médios de cinco minutos a partir dos mercados FX. A otimização ANFIS envolve back-testing, bem como a variação do número de épocas, e é combinado com um novo método de captura de volatilidade usando uma abordagem baseada em eventos que leva em consideração as mudanças direcionais dentro de limiares pré-especificados. Os resultados mostram que o modelo proposto supera as estratégias padrão, como o buy-and-hold ou a previsão linear. Downloads: (link externo) indersciencelink. phpid38529 (texthtml) O acesso ao texto completo é restrito aos assinantes. Trabalhos relacionados: este item pode estar disponível em outros lugares no EconPapers: procure itens com o mesmo título. Referência de exportação: BibTeX RIS (EndNote, ProCite, RefMan) HTMLText Mais artigos na Revista Internacional de Mercados Financeiros e Derivados dos dados da série Inderscience Enterprises Ltd mantidos por Darren Simpson (). Este site faz parte do RePEc e todos os dados exibidos aqui fazem parte do conjunto de dados RePEc. O seu trabalho está faltando no RePEc. Aqui está como contribuir. Perguntas ou problemas Verifique as perguntas frequentes do EconPapers ou envie um e-mail para o Ensaio Financeiro de Alta Freqüência Fx Trading. Publicado: 23 de março de 2015 Última edição: 23 de março de 2015 Este ensaio foi submetido por um aluno. Este não é um exemplo do trabalho escrito por nossos escritores de ensaios profissionais. Investidores e comerciantes financeiros sempre tentaram prever o movimento dos mercados de ações. A própria negociação financeira está incorporada em uma estrutura complexa, não só envolvendo a dinâmica da formação de preços, mas também a própria microestrutura do mercado. Informações de mercado, notícias e fatores externos afetam as decisões de negociação de investidores em relação à compra e venda. Normalmente, o padrão de preços é difícil de reconhecer, notar ou categorizar, independentemente do tipo de mercado financeiro real estudado (Murphy, 1986). Este artigo apresenta um modelo que tenta provar que a inteligência artificial e soft computing, como o Sistema de Inferência Neuro-Fuzzy Adaptativo (ANFIS), podem fornecer uma solução importante nessas tarefas. A abordagem da lógica difusa, inspirada em um modelo de raciocínio humano em que os termos linguísticos são utilizados e as quantidades difusas (em oposição às nítidas) são manipuladas, é combinada em sistemas neuro-difusos com a capacidade de reconhecimento de padrões de redes neurais (Konstantaras, Varley, Vallianatos, Collins e Holifield, 2006). A recente escalada no poder de computação levou a um grande aumento na disponibilidade de dados e informações. Computadores, sensores e canais de informação estão se desenvolvendo mais rapidamente, e os dados são mais fáceis de colecionar do que nunca. Devido à disponibilidade de informações em tempo real do livro de pedidos hoje em dia, a diferença na tomada de decisões e na tomada de riscos entre vários comerciantes representa um processo complicado que afeta as condições do mercado. A negociação de alta freqüência é uma nova disciplina na negociação financeira, onde as tendências são analisadas na moda tick-by-tick e as decisões de compra e venda são, portanto, tomadas. Portanto, implementar um sistema que forneça um meio de capturar e prever os movimentos do mercado no nível em tempo real ajudaria a melhorar um recorde de negociação financeira de investidores (Dacarogna et al., 2001). Este artigo propõe uma nova técnica de processamento e filtração computacional que ainda não foi totalmente discutida ou implementada na literatura existente (para uma pesquisa recente sobre estratégias de negociação algorítmica e sistemas de negociação, veja Aldridge (2009)). Tradicionalmente, a maioria dos algoritmos de previsão apresentados na literatura se concentra na mineração de dados, que é a integração de estatísticas, paradigmas de aprendizagem mecânica e a análise de sistemas dinâmicos (Hellstrom e Holmstroumlm, 1998). Além disso, dado que as séries temporais financeiras são muitas vezes muito barulhentas, um processo de filtragem deve ser seguido para remover esse ruído do sinal (Sheen, 2005). Uma arquitetura ANFIS foi escolhida para este sistema comercial automatizado, pois mostra um desempenho muito alto na modelagem de funções não-lineares e na identificação de componentes não-lineares (Denai, Palis e Zeghbib, 2007). O ANFIS financeiro proposto usa um algoritmo de aprendizagem híbrido e é capaz de construir um mapeamento de entrada e saída único baseado em conhecimento humano (regras difusas) e pares de dados de entrada / saída estipulados (Castillo, Fontenla-Romero e Alonso-Betanzos, 2006). Também mostrou excelentes resultados na previsão de séries temporais caóticas (Jang, 1993). Além disso, uma vez que o sistema de negociação trata de dados intradiários, a entrada de dados para o sistema deve ser dessazonalizada de forma específica para separar o componente determinista na série de tempos, pois, de outra forma, iria introduzir autocorrelação espúria. A dessazonalização é realizada usando uma nova medida de volatilidade baseada em eventos. O lembrete do artigo está organizado da seguinte forma. A Seção 2 apresenta a metodologia. A seção 3 apresenta os dados empíricos e os resultados. A seção 4 conclui. 2. Metodologia No seguinte, a Seção 2.1 descreve primeiro o projeto e a arquitetura do Sistema de Inferência Neuro-Fuzzy Adaptativo (ANFIS) originalmente introduzido por Jang (1993). A Seção 2.2 então expande o uso do ANFIS para negociação financeira. A Seção 2.3 apresenta uma medida de volatilidade baseada em eventos para ser alimentada no ANFIS para capturar a sazonalidade intradia e otimizar o cronograma de negociação. 2.1 O ANFIS Framework O ANFIS é uma rede adaptativa de nós e links direcionais com regras de aprendizagem associadas. A abordagem aprende as regras e as funções de associação dos dados (Takagi e Sugeno, 1985). É chamado de adaptativo porque alguns ou todos os nós possuem parâmetros que afetam a saída do nó. Essas redes identificam e aprendem as relações entre insumos e saídas e possuem alto nível de capacidade de aprendizagem e propriedades de definição de função de associação. Embora as redes adaptativas cobrem várias abordagens diferentes, para nossos propósitos, realizaremos uma análise detalhada do método proposto por Jang, Sun e Mizutani (1997) com a arquitetura mostrada na Figura 1. Os nós circulares têm uma entrada fixa, Relação de saída, enquanto que os nós quadrados têm parâmetros a serem aprendidos. As regras típicas difusas são definidas como uma declaração condicional na forma: Figura 1: Arquitetura ANFIS para uma regra de dois. O sistema Sugeno X e Y são variáveis lingüísticas Ai e Bi são valores linguísticos determinados por conjuntos difusos nos universos particulares do discurso X e Y, respectivamente . No entanto, no ANFIS usamos o sistema Takagi-Sugeno de primeira ordem (Takagi e Sugeno, 1985), que é X e Y representam os universos do discurso Ai e Bi são termos linguísticos definidos por suas funções de associação, e pi, qi e ri são Os parâmetros conseqüentes que são atualizados na passagem para a frente no algoritmo de aprendizagem. A passagem para a frente propaga o vetor de entrada através da rede camada por camada. Na passagem para trás, o erro é retornado através da rede de maneira similar à propagação posterior. Nós discutimos brevemente as 5 camadas no seguinte: A saída de cada nó na camada 1 é: portanto, é essencialmente a nota de associação para x e y. Embora as funções de associação possam ser muito flexíveis, os resultados experimentais levam à conclusão de que, para a tarefa de treinamento de dados financeiros, a função de adesão em forma de sino é mais apropriada (veja também Abonyi, Babuska e Szeifert (2001)). Calculamos onde são os parâmetros a serem aprendidos. Estes são os parâmetros da premissa. Na camada 2, cada nó é corrigido. É aí que a norma t é usada para AND e as notas de associação, por exemplo, o produto: a camada 3 contém nós fixos que calculam a proporção das forças de disparo das regras: os nós na camada 4 são adaptativos e realizam o conseqüente de As regras: os parâmetros () nesta camada devem ser determinados e são referidos como os parâmetros conseqüentes. Na camada 5, um único nó calcula a saída global: É assim que o vetor de entrada normalmente é alimentado através da camada de rede por camada. Consideramos então como o ANFIS aprende a premissa e parâmetros conseqüentes para as funções de associação e as regras. Aplicamos o algoritmo de aprendizado híbrido proposto por Jang, Sun e Mizutani (1997), que utiliza uma combinação de estimativa de descida mais baixa e de mínimos quadrados para calibrar os parâmetros na rede adaptativa (ver também Fontenla-Romeroll (2003)). Nós dividimos o conjunto total de parâmetros S em dois conjuntos adicionais. O conjunto de parâmetros de premissa (não-linear) e. O conjunto de parâmetros conseqüentes (lineares). Neste estudo, o ANFIS usa um algoritmo de aprendizado de duas passagens. Na passagem para a frente, não é modificada e é calculada usando um algoritmo LSE, enquanto que na passagem para trás, não está modificada e é atualizada usando um algoritmo de descida de gradiente, como a propagação posterior (veja também a ilustração na Figura 2). A tarefa do algoritmo de aprendizagem ANFIS para esta arquitetura é afinar todos os parâmetros modificáveis, e fazer com que o resultado ANFIS corresponda aos dados de treinamento. Quando os parâmetros da premissa e da função de associação são fixos, a saída do modelo ANFIS pode ser escrita como, em particular, o processo de aprendizagem consiste em uma passagem para a frente e posterior propagação, onde na passagem para frente, os sinais funcionais avançam até a camada 4, e os parâmetros conseqüentes são identificados pela estimativa de mínimos quadrados. Na passagem para trás, as taxas de erro se propagam para trás e os parâmetros da premissa são atualizados pela descida do gradiente. Para valores fixos determinados de. Os parâmetros encontrados por esta abordagem são garantidos para ser o melhor global. A Tabela 1 fornece um resumo dos métodos de aprendizagem. O erro de saída é usado para adaptar os parâmetros da premissa por meio de um algoritmo padrão de propagação posterior. Tabela 1: Resumo dos métodos de aprendizagem Passo para a frente Passo para trás Parâmetros da premissa Listagem 3: Otimizando o ANFIS com o ISOM 3. Dados e resultados empíricos O mercado de câmbio (FX) é um mercado de 24 horas onde há alta liquidez e volatilidade com três grandes centros em Diferentes partes do mundo: Nova York, Londres e Tóquio. É a maior volatilidade no início da manhã da época de Nova York, porque ambos os bancos em Londres e Nova York estão abertos e simultaneamente comercializados. Fatos estilizados como a assimetria de ganhos e caudas pesadas são observados nas distribuições de retorno de FX (Bauwens et al., 2005). Bancos comerciais, empresas, instituições financeiras e de varejo de todo o mundo participam da negociação FX. O preço no mercado FX é formado pela compra e venda de moedas para instituições, comerciantes, exportadores, importadores, gestores de portfólio e turistas. Atualmente, as encomendas são combinadas eletronicamente através de terminais automatizados de corretagem. Yoon, Guimareas e Swales (1994) afirmam que cerca de 85 de todas as negociações cambiais ocorrem entre fabricantes de mercado. Isso cria uma oportunidade para a especulação. No entanto, a especulação no mercado FX é um jogo de soma zero, o que significa que os lucros acumulados podem ser iguais às perdas acumuladas. Ao longo deste capítulo, a entrada para o sistema foi de alta freqüência de dados FX amostrados de 04042006 a 04042008. O sistema foi testado em cinco taxas de câmbio, que são: EURUSD, AUDUSD, GBPUSD, USDCHF e USDJPY. A Figura 6 mostra as diferentes séries temporais que foram utilizadas neste estudo. Figura 6: séries temporais de todos os cinco pares de moedas FX observados de 04042006 a 04042008, normalizados para 1USD Este conjunto de dados original de dados de preço de cinco minutos é dividido em conjuntos de sub-dados (não sobrepostos) que compreendem pontos de dados m500, para cada um dos Taxas de câmbio. Um m muito pequeno (digamos 100 pontos) pode não ser suficiente para criar impulso e alcançar um número desejado de observações (eventos), já que o limiar não pode ser excedido. Da mesma forma, um número maior pode incluir mais observações que desejamos para uma corrida do sistema, o que causaria excesso de treinamento e superação. Como todas as taxas FX de alta freqüência têm uma quantidade diferente de pontos de dados, m foi escolhido de tal forma que todas as séries possuem conjuntos de sub-dados razoavelmente comparáveis. Para cada série de taxas de FX, os primeiros 500 pontos de dados de quotin-samplequot em cada subconjunto são usados para o treinamento do sistema. Os 500 pontos de dados subseqüentes são considerados como quotout-of-samplequot e usados para validar o desempenho dos sistemas e atualizar a estrutura da rede usando o erro de saída. Os 500 pontos de dados que foram utilizados para validação em uma simulação podem ser reutilizados para a reconversão do sistema na próxima simulação, criando assim um mecanismo de janela rolante para treinamento e validação do sistema, fazendo uso de todos os dados disponíveis. Para avaliar o desempenho do modelo proposto, comparamos o ANFIS com a estratégia padrão de compra e retenção, utilizando a relação Sharpe e a relação Sortino para avaliação. O índice de Sharpe é usado para a medida de retorno ajustado pelo risco de um ativo de investimento ou de uma carteira, o que pode dizer aos investidores como o retorno de um ativo compensa os investidores quanto ao risco assumido. Em outras palavras, a ração de Sharpe pode dizer aos investidores se os retornos de um ativo ou de uma carteira provêm de uma estratégia de negociação inteligente ou de um risco excessivo. O índice de Sharpe é definido como onde Rp indica o retorno esperado, Rf a taxa de juros livre de risco e p a volatilidade da carteira. O índice de Sharpe mede o prêmio de risco por cada unidade de risco total em um ativo de investimento ou em uma carteira. Os investidores geralmente escolhem investimentos com altos índices de Sharpe, pois quanto maior o índice Sharpe, melhor será o desempenho ajustado ao risco. Da mesma forma, a razão Sortino é definida como onde neg denota o desvio padrão de apenas retornos de ativos negativos. A principal diferença entre a razão Sharpe e a razão Sortino é que a razão Sortino penaliza apenas a volatilidade negativa, enquanto a relação Sharpe penaliza tanto a volatilidade lateral quanto a reversão. Assim, a razão Sortino mede o prêmio de risco por cada unidade de risco negativo em um ativo de investimento ou em uma carteira. Ao treinar o ANFIS, foi notado depois de executar experimentos iniciais que quanto maior o número de épocas, mais estável será o sistema por causa da oscilação de amortecimento (veja a Figura 4). Além disso, quanto maior o tamanho do passo, mais rápido os erros diminuirão, embora haja mais oscilações. Ao projetar um sistema que comercializará em alta freqüência, uma categoria importante que deve ser satisfeita junto com alto desempenho e resultados ótimos é alta velocidade ou tempo de execução e execução. Como pode ser visto a partir da tabela acima e gráficos, um número baixo de épocas resulta em um sistema que é extremamente rápido, enquanto que a velocidade diminui à medida que o número de épocas aumenta. Por outro lado, um número baixo de épocas produz resultados muito fracos em comparação com um maior número de épocas, o que produz um sistema com altas taxas de desempenho. No entanto, também foi observado a partir dos experimentos que, à medida que o número de épocas aumenta, pode haver um estágio em que o desempenho não aumenta tanto quanto necessário, enquanto o tempo de execução aumenta drasticamente. Por isso, é uma questão de compromisso entre velocidade e desempenho. Este problema pode ser resolvido escolhendo um sistema com 80 épocas, onde foi encontrado para produzir o maior desempenho durante a menor quantidade de tempo após a realização de experimentos extensivos (ver Tabela 2). Além disso, uma vez que o sistema opera em intervalos de cinco minutos, um tempo de 25,15 segundos não pode ser considerado um longo tempo de execução, dada a complexidade do design ANFIS. Tabela 2: Avaliação fora de amostra do sistema ANFIS usando vários números de épocas Num. De Epochs Tempo de CPU (segundos) Fator de lucro de taxa de vencimento Tendo determinado o número de épocas a serem consideradas, o ANFIS foi alimentado com dados dos horários do dia em que o número de observações excedeu 10 eventos. Depois de ser treinado em dados com maior volatilidade (treinamento de estresse), o ANFIS realizará a previsão de um conjunto de dados de verificação. Como dito, os resultados da performance do ANFIS serão comparados com uma estratégia de compra e retenção tradicional como modelo de referência. A Tabela 3 relata o desempenho médio geral do sistema em comparação com uma estratégia de compra e retenção tradicional. Os índices positivos de Sharpe e Sortino mostram que o sistema não assumiu alto risco pela quantidade de retorno obtida. Taxa de ganhos Fator de lucro Retorno da taxa de investimento Sharpe Tabela 3: Comparação das medidas de desempenho médias na amostra fora da amostra, tanto para o ANFIS quanto para a estratégia de negociação de compra e retenção A taxa vencedora descreve o número de negociações vencedoras em relação ao total Número de negócios. O acima mostra que, em média, o sistema ANFIS supera a estratégia padrão de compra e retenção no número total de vitórias. O fator de lucro descreve principalmente a rentabilidade histórica de uma série de negócios em um investimento. O equilíbrio do fator de lucro é 1, o que significa um investimento que gera negócios com uma chance de 50 da soma bruta de negócios vencedores e uma chance de 50 da soma bruta de negociações perdidas. Normalmente, os investidores escolhem investimentos com o fator de lucro superior a um. O que se segue mostra que o sistema ANFIS tem um fator de lucro superior a 1 na maioria dos casos. O retorno do investimento (ROI) é usado para avaliar a eficiência de um investimento ou comparar os retornos dos investimentos. Ou seja, ROI é a proporção do lucro obtido ou perdido em um investimento em relação ao valor do custo investido. A Tabela 3 revela que o ANFIS obteve ROI mais elevado do que a estratégia tradicional de compra e retenção. Finalmente, a Relação Sharpe e Sortino Ratio, que medem o investimento por unidade de risco, também indicam um melhor desempenho do modelo ANFIS, mas menos consistentes em comparação com os outros valores de referência. 4. Conclusões A área distintiva de informática suave e inteligência artificial foi abordada neste projeto revisitando e melhorando o desempenho do sistema de inferência adaptativo neuroferente (ANFIS), manipulando o número de épocas e a taxa de aprendizado. Concluiu-se que um certo número de épocas ótimas não deve ser excedido, uma vez que isso não melhoraria drasticamente o sistema. O Modelo de Observação de Seasonalidade Intraday (ISOM) proposto neste projeto foi testado em vários níveis limítrofes. A observação de uma mudança direcional dentro de um limiar leva a tomar o carimbo de horário e sua adição consequente a todas as observações que foram feitas durante esse tempo. O poder deste método reside no fato de que qualquer limite pode ser usado para qualquer freqüência de tempo. Isso leva à observação de eventos para toda a série de dados a partir de uma nova perspectiva. Os conceitos acima de volatilidade impulsionada por eventos provaram ser consistentes com o ANFIS se houver dados suficientes para executar o ISOM. Uma comparação do modelo proposto com a estratégia de negociação padrão de compra e retenção mostra uma superação do ANFIS intradía. Reconhecimento Os autores estão muito gratos a Steve Phelps, ao Editor e a três árbitros anônimos por seus valiosos comentários e sugestões que levaram a uma melhoria deste artigo. Referências Abonyi, J. 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Por exemplo, Obizhaeva e Wang 26 e Alfonsi, Fruth e Schied 2 se concentram nas estratégias de execução ótimas usando apenas o mercado Ordens, assumindo níveis contínuos de preços e resiliência exponencial do LOB. Avellaneda e Stoikov 4 e Guilbaud e Pham 17 construem uma política ótima de mercado para um pequeno agente ao assumir que o preço médio do ativo é um processo Markov exógeno e as ordens limite do agentex27s são acompanhadas pelos homólogos do mercado nas taxas de Poisson. Maglaras, Moallemi e Zheng 23 formulam uma estratégia de liquidação ótima, consistindo em uma colocação de ordem de limite no início, juntamente com inscrições de pedidos de mercado de bloqueio e fluxo em um curto horizonte de tempo. Quot Mostrar resumo Ocultar resumo RESUMO: Propomos uma estrutura para estudar a estratégia de liquidação ideal em um livro de pedidos limite para estoques de grande carrapato, com spread igual a um carrapato. Todos os eventos do livro de pedidos (ordens de mercado, ordens limitadas e cancelamentos) ocorrem de acordo com processos independentes de Poisson, com parâmetros dependendo das direções de mudança de preço. Nosso objetivo é maximizar a riqueza terminal esperada de um agente que precisa liquidar suas posições dentro de um horizonte temporal fixo. Supondo que o agente negocia (por meio da ordem do limite de venda e venda do mercado) apenas quando o preço se move, modelamos seu procedimento de liquidação como um processo de decisão semi-Markov e calculamos o kernel semi-Markov usando o método de Laplace na linguagem da teoria da fila . A política de liquidação ótima é então resolvida por programação dinâmica e ilustrada numericamente. Artigo Jan 2017 Antoine Jacquier Hao Liu quot Portanto, para executar um comércio, os comerciantes podem precisar dividir o pedido em vários destinos de negociação e tomar decisões sobre os tipos de pedidos, digamos ordens limitadas ou pedidos de mercado, tamanhos de pedidos e preços de cotação. A Pham (2013,2014) 13, 15 propôs uma estrutura de modelagem para estudar políticas de mercado ótimas com ordens de limite e de mercado em um modelo em forma reduzida de um único LOB. Ganchev et al. (2010) 16 discutiram o problema de otimizar a alocação de um grande comércio em várias plataformas escuras concorrentes. Quot Mostrar resumo Ocultar resumo RESUMO: A aparência de novos destinos comerciais facilita a negociação do mesmo instrumento financeiro simultaneamente em diferentes locais. Para executar uma grande ordem, os participantes do mercado podem precisar tomar decisões sobre como dividir a ordem em vários locais e com os preços para publicar as ordens de limite durante o horizonte comercial para controlar o trade trade global entre o impacto do mercado e o risco de mercado. As decisões são influenciadas pelas aversões ao risco de tradersx27 e pelo impacto do mercado microestrutural. Adotamos um modelo de modelo quantitativo similar, como em Avellaneda e Stoikov (2008) para estudar o problema de liquidação ideal com o limite e as ordens de mercado em vários locais. Um modelo de salto-difusão de dois pontos com volatilidade estocástica de retorno rápido médio é empregado para descrever a dinâmica do preço do estoque subjacente. No caso de um único local de negociação, obtemos uma divisão ideal entre pedidos de mercado e limite, bem como a estratégia de cotação ideal para as encomendas postadas no livro de pedidos limite. Para o caso geral de trocas múltiplas, derivamos uma estratégia ideal de alocação de ordens, caracterizada por diferentes taxas de desconto, riscos de execução e características microestruturais. No entanto, a maior parte do trabalho teórico está preocupado com o problema da execução ideal, em que um investidor precisa liquidar sua posição no bem dentro de um dado Horizonte de tempo, enviando ordens menores (de limite ou de mercado) e visando maximizar os lucros. As publicações relevantes incluem, entre outros, 35, 2, 40, 41, 21, 34, 17, 5, 4, 19, 38, 25, 14, 26, 44 e referências nele contidas. Nessas publicações, a dinâmica e a forma do LOB são modeladas de forma exógena, ou, de forma equivalente, os processos de chegada do limite e as ordens de mercado de outros agentes são especificados de forma exógena. Resumo: neste trabalho, apresentamos uma extensão de tempo contínua da estrutura para modelagem da microestrutura de mercado, desenvolvida em nosso trabalho anterior 22. Usamos essa extensão para modelar a forma e a dinâmica do Livro de Pedidos Limite (LOB) Entre dois comércios consecutivos. Neste modelo, o LOB surge como resultado de um equilíbrio entre vários agentes que têm diferentes crenças sobre a demanda futura para o bem. Essas crenças podem mudar de acordo com a informação observada pelos agentes (por exemplo, representada por um fator estocástico relevante), o que implica uma mudança na forma do LOB. Este modelo é consistente com a observação empírica de que a maioria das mudanças no LOB não se deve a negociações. Mais importante ainda, permite ver como a mudança do sinal de informação relevante afeta o LOB. Se o sinal relevante é uma função do próprio LOB, nossa abordagem permite modelar o impacto do quot-quot indireto (ao contrário do quot quot quot direto que uma ordem de mercado faz no LOB, eliminando instantaneamente certas ordens de limite ), Mostrando como qualquer alteração no LOB causa alterações adicionais a ele. No lado matemático, formulamos o problema como um jogo de controle controlado, com um contínuo de jogadores. Conseguimos dividir o problema de equilíbrio em duas partes e representar uma delas através de um sistema bidimensional de Equações Diferenciais Estocásticas Avançadas Refletidas e a outra com uma equação de ponto fixo de dimensão infinita. Provamos a existência das soluções para ambos os problemas e mostramos como eles podem ser computados em um exemplo simples. Texto completo Artigo Maio 2016 Roman Gayduk Sergey Nadtochiy
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